टी एक n तत्वों, एल अपनी बाईं सबट्री साथ संतुलित किया जाता है BST और उसके सही एक आर, मैं कैसे साबित कर सकते हैं कि इसकी गहराई से कम या 2log के बराबर (एन) + 1 है?
वहाँ प्रेरण द्वारा एक सबूत जो मेरे पास है है, लेकिन मैं यह नहीं मिलता है।
(मैं समझता हूँ कि stackoverflow मुख्य रूप से उन्मुख प्रोग्रामिंग है, लेकिन मैं द्विआधारी खोज के पेड़ के बारे में कुछ सवाल मिल गया है और यह एक कोशिश देने का फैसला किया, आशा है कि मैं कुछ अच्छा नहीं नहीं कर रहा हूँ। :))
"संतुलित" की परिभाषा के अनुसार, एक ही नोड के हर बाएँ और दाएँ subtrees की गहराई एक के बाद ज्यादा से ज्यादा भिन्न होते हैं। "गहराई" सामान्य रूप से "के रूप में पत्ती के लिए नीचे पेड़ जड़ से सबसे लंबे समय तक चलने के कदम की संख्या", तो उदाहरण के लिए एक जड़ और दो पत्तियां (एक ही रास्ता है कि वे एक संतुलित BST में व्यवस्थित किया जा सकता में तीन तत्व) के साथ एक BST है परिभाषित किया गया है गहराई से एक है करने के लिए कहा (लगता है कि आप एक अलग परिभाषा है कि यह देना होगा गहराई दो? उपयोग कर रहे हैं), के रूप में एक जड़ और एक पत्ती के साथ एक (है कि पत्ती है कि क्या जड़ के बाईं या दाईं सबट्री कोई फर्क नहीं पड़ता) होगा, जबकि सिर्फ एक रूट भी एक पत्ता है कि के साथ एक (एक भी तत्व) गहराई 0. होता (वहाँ शून्य तत्वों के साथ कोई BST है)।
तो n के लिए <= 3 तत्वों, डी बुला (एन) पेड़ गहराई से ऊपर के रूप में परिभाषित, स्पष्ट रूप से D(n) < log(n) + 1(के साथ logअर्थ आधार -2 लघुगणक) निरीक्षण से, के बाद से 1 = D(2) < log(2) + 1 = 2(और यह भी 1 = D(3)है जिसके लिए असमानता के आरएचएस, log(3) + 1वास्तव में है > 2), और 0 = D(1) < log(1) + 1 = 1- यह हमें प्रेरण आधार देता है।
प्रेरण द्वारा सबूत हम अगर है कि दिखाने के लिए पूरा करने के लिए D(k) < log(k) + 1सभी के लिए k < nहै, तो यह भी है कि इस प्रकार D(n) < log(n) + 1।
यदि n विषम है, स्पष्ट रूप से छोड़ दिया और सही सबट्री है (n-1)/2तत्व एक, और पेड़ गहराई 1 subtrees से भी अधिक है; लेकिन फिर D(n) = 1 + D((n-1)/2) < 1 + 1 + log((n-1)/2)(प्रेरण परिकल्पना द्वारा) = 1 + log(n-1)(के बाद से log((n-1)/2) = log(n-1) - 1) और इस तरह सुतरां < 1 + log(n), QED।
तो nभी है आप के साथ सिर्फ एक ही चरणों का पालन log(n)करने के बजाय log(n-1)और "सुतरां" खत्म बिना, और सबूत अभी भी आयोजित करता है।
आपका जवाब सही संतुलित द्विआधारी पेड़ पूरा दाएं और बाएं उप पेड़ में तत्वों की संख्या हो सकती है है अगर है (n-1) / 2 लेकिन अगर यह पूरा नहीं हुआ है, तत्वों की संख्या नहीं होने के लिए (n-1) / 2 के रूप में की जरूरत है अंतिम स्तर विभिन्न तत्वों हो सकता है
